Numeri felici

Si prenda in considerazione la seguente procedura: 

• si sceglie un qualsiasi numero naturale N (per esempio: 193); 
• si calcola la somma dei quadrati delle sue cifre ((193→1²+9²+3² = 1+81+9 = 91); 
• si ripetono varie volte le due precedenti istruzioni (91→9²+1² = 81+1 = 82; 8²+2² = 64+4 = 68; 6²+8² = 36+64 = 100; 1²+0²+0² = 1); 
• se si riesce a ottenere il numero 1 (come nell'esempio in questione), N viene detto "felice"; 
• se, invece, si arriva a generare uno dei numeri della sequenza: 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20..., si entra in un ciclo che non includerà mai il numero 1; in questo caso N viene detto "infelice". 

7 è il più piccolo numero felice maggiore di 1 e la sequenza a esso associata è: 

7² = 49; 4²+9² = 97; 9²+7² = 130; 1²+3²+0² = 10; 1²+0² = 1. 

Da una ricerca effettuata con un potente computer, che ha preso in esame tutti i numeri naturali fino a 10²⁰, è risultato che circa il 12% dei numeri naturali è felice; però, non esiste ancora una rigorosa dimostrazione di tale assunto. 

È facilmente verificabile, invece, che i numeri felici sono infiniti; infatti, come minimo, tutte le potenze di 10 corrispondono a numeri felici. 

Se un numero è felice, allora tutti i numeri della sua sequenza sono felici; se un numero è infelice, tutti i numeri della sua sequenza sono infelici. 

I primi numeri felici sono: 

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193. 

Un numero primo che è anche felice, viene detto "primo felice". 

Il più piccolo primo felice, in assoluto, è 7 (dato che 1 non è primo). 

I primi numeri primi felici sono: 

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139. 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487. 

È interessante notare che tutti i numeri primi della forma: 10^N +3 o 10^N +9 sono felici.