L'hotel Hilbert possiede un'infinità di camere, numerate con 1, 2, 3 .... e così via. Un giorno arriva un viaggiatore, ma le camere sono tutte occupate. L'albergatore però non si perde d'animo: basta pregare ognuno degli ospiti di spostarsi nella camera successiva. Perciò l'ospite della camera 1 si sposta nella camera 2, quello della 2 nella 3 e così via; in generale quello della camera n passa nella camera n + 1. In questo modo tutti gli ospiti già presenti vengono risistemati, ma in più la camera 1 si è liberata e il nuovo ospite può essere accolto. Dopo un po', però, arriva una comitiva di un milione di persone e trova tutto occupato. Nessun problema, dice l'albergatore: ogni ospite si sposterà dalla camera n alla camera n + 1000000; tutti sono a posto e in più il primo milione di camere dell'hotel è ora libero.
Un problema molto più serio si presenta quando all'hotel Hilbert tutto esaurito arriva un bus che porta un numero infinito di persone. Come fare? L'albergatore ci pensa su e trova la soluzione: fa spostare ogni ospite dalla camera n nella camera 2n. Tutti gli ospiti possono riprendere a dormire tranquilli; in più si è liberato un numero infinito di camere per i nuovi arrivati: tutte quelle con un numero dispari.
Abbiamo visto come il fantastico hotel Hilbert possa alloggiare un infinito numerabile di ospiti persino quando è tutto esaurito: basta spostare ogni ospite dalla camera n alla camera 2n. L'insieme numerabile delle camere con numeri dispari, così liberate, può accogliere un qualunque insieme numerabile di nuovi ospiti. Perciò non ci sono problemi quando arriva un bus che porta infiniti passeggeri. Non ci sono problemi neanche quando arrivano infiniti bus, ciascuno con infiniti passeggeri. E persino quando arrivano infiniti treni, ognuno con infiniti bus, ognuno con infiniti passeggeri. Potremmo poi pensare a infinite flotte con infiniti traghetti con infiniti treni con infiniti bus con infiniti passeggeri e così via: i passeggeri saranno sempre un insieme numerabile e possono essere alloggiati nel favoloso hotel Hilbert.
Vi siete persi? Non preoccupatevi, è normale perdere l'orientamento in questo hotel. Se vi può essere di aiuto, provate a vedere il video qui sotto, provate a immaginare un hotel infinito ....
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